SONATA

Podczas wykładu będą zaprezentowane trzy rozszerzenia twierdzenia Cantora o przecięciu, w których zostaną kolejno osłabione założenia: domkniętości zbiorów, zstępowania ciągu zbiorów i zbieżności średnic zbiorów do zera. Pierwszy rezultat pozwala podać alternatywne dowody pewnych twierdzeń o punktach stałych dla odwzorowań nieciągłych. Z pomocą drugiego można znacząco uprościć dowód twierdzenia Reicha-Zaslavskiego o punktach stałych odwzorowań, których wartości nie muszą należeć do ich dziedziny. Trzecie twierdzenie dotyczy ciągu podzbiorów tzw. superrefleksywnej przestrzeni Banacha i implikuje twierdzenie Browdera-Göhdego-Kirka dla odwzorowań nieoddalających. Wykład jest dostępny dla szerokiego grona słuchaczy.Literatura:

1. D. W. Boyd, J. S. W. Wong, Another proof of the contraction mapping principle, Canad. Math. Bull. 11 (1968), 605-606.
2. F. E. Browder, Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 54 (1965), 1041-1044.
3. J. Jachymski, Around Browder’s fixed point theorem for contractions, J. Fixed Point Theory Appl. 5 (2009), 47-61.
4. J. Jachymski, A Cantor type intersection theorem for superreflexive Banach spaces and fixed points of almost affine mappings, J. Nonlinear Convex Anal. 16 (2015), 1055-1068.
5. S. Reich, A. J. Zaslavski, Convergence of iterates for a class of mappings of contractive type, JP J. Fixed Point Theory Appl. 2 (2007), 69-78.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

02-02-2018 | Prof. Dr. rer. nat. habil. Gerhard-Wilhelm Weber (współautorzy: Emel Savku, Ioannis Baltas, Emre Akdogan): Stochastic optimal control under a Markov regime-switching jump-diffusion model with delay in finance, economics and neuroscience

We contribute to modern Operational Research by hybrid, e.g., mixed continuous-discrete dynamics of stochastic differential equations with jumps and to its optimal control. These hybrid systems allow for the representation of random regime switches or paradigm shifts, and are of growing importance in science, especially, in biology, economics, finance and engineering. We introduce some new approaches to this area of stochastic optimal control and present results. One is analytical and bases on the finding of optimality conditions and, in certain cases, closed-form solutions.We further discuss aspects of differences in information, given by delay – a first form of memory – or partial information, and we give a short introduction into the involvement of the “human factor”, especially, through neuroscience and behavioral economics. The presentation ends with a conclusion and an outlook to future studies.

For the presentation time being limited, not all technical details can be given. Instead we refer the interested reader to the references stated subsequently.

References:

1. N. Azevedo, D. Pinheiro and G.-W. Weber, Dynamic programming for a Markov–switching jump-diffusion, Journal of Computational and Applied Mathematics 267 (2014) 1–19.
2. E. Savku and G.-W. Weber, A stochastic maximum principle for a Markov regime-switching jump-diffusion model with delay and an application to finance, Journal of Optimization Theory and Applications, to appear.
3. B. Z. Temocin and G.-W. Weber, Optimal control of stochastic hybrid system with jumps: a numerical approximation, Journal of Computational and Applied Mathematics 259 (2014) 443-451.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

17-11-2017 | dr hab. Dobrosława Kasprowicz: Kryształy luminescencyjne

Materiały krystaliczne \(KGd(WO_4)_2\) domieszkowane jonami ziem rzadkich \(Pr^{3+}\), \(TM^{3+}\), \(Tb^{3+}\), \(Ho^{3+}\), \(ER^{3+}\) oraz \(YB^{3+}\) są źródłem wielobarwnej emisji promieniowania o pożądanej długości fali oraz intensywności w zakresie widzialnym VIS (pasma emisji o barwie czerwonej R, zielonej G i niebieskiej B) przy wzbudzeniu w zakresie bliskiej podczerwieni IR. Materiały te mogą znaleźć zastosowanie m. in. w czujnikach optycznych, komórkach fotowoltaicznych, diodach luminescencyjnych LED lub zintegrowanych układach elektronicznych z emisją światła białego, będącego wynikiem jednoczesnej generacji RGB (up-conversion lasers). Przedstawione zostaną wyniki badań ww. materiałów metodami spektroskopii optycznej oraz µ-Ramana.

Literatura:

1. G. Lakshminarayana, H. Yang, J. Qiu, White light emission from \(Tm^{3+}\)/\(Dy^{3+}\) co-doped oxyfluoride germanate glasses under UV light excitation, J. Solid State Chem. 182 (2009), 669-676.
2. K. Ouannes, M. T. Soltani, M. Poulain, G. Boulon, G. Alombert-Goget, Y. Guyot, A. Pillonnet, K. Lebbout, Spectroscopic properties of \(Er^{3+}\)-doped antimony oxide glass, J. Alloys. Compd. 603 (2014), 132–135.
3. X. Min, M. Fang, Z. Huang, Y. Liu, C. Tang, X. Wu, Luminescent properties of white-light-emitting phosphor \(LaMgAl_{11}O_{19}:Dy^{3+}\), Mater. Lett. 125 (2014), 140-142.
4. J. H. Chung, S. Y. Lee, K. B. Shim, J. H. Ryu, White lighting upconversion in \(Tm^{3+}\)/\(Ho^{3+}\)/\(Yb^{3+}\) co-doped \(CaWO_4\), Appl. Phys. Express 5 (2012), 052602.
5. D. Kasprowicz, P. Głuchowski, B.M. Maciejewska, M. Chrunik, A. Majchrowski, Up-conversion luminescence of rare earth-doped \(KGd(WO_4)_2\) phosphors for tunable multicolour light generation, New J. Chem. 41 (2017), 9847–9856.

17-11-2017 | dr hab. Tomasz Runka: Od struktury krystalicznej do widma Ramana

W czasie wykładu omówione zostaną następujące zagadnienia: struktura krystaliczna ciał, układy krystalograficzne, sieci Bravais’go, grupy punktowe i przestrzenne, kryształy o strukturze perowskitu, elementy teorii grup w zastosowaniach spektroskopowych, rozpraszanie Ramana.

Na przykładzie dwuskładnikowych kryształów o strukturze perowskitu \(SAT_{1-x}:LA_x\) przedstawiona zostanie spektroskopowa charakteryzacja tych materiałów w zakresie oscylacyjnym. Przedstawiona zostanie również korelacja pomiędzy obliczeniami wykonanymi na bazie metod teorii grup a techniką eksperymentalną jaką jest spektroskopia Ramana.

Literatura:

1. Ch. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2011.
2. G. Turrell, Infrared and Raman spectra of crystals, Academic Press, London, 1972.
3. D.I. Rousseau, R.P. Bauman, S.P.S. Porto, Normal mode determination in crystals, J. Raman Spectrosc. 10 (1981), 253-290.
4. T. Runka, K. Łapsa, A. Łapiński, R. Aleksiyko, M. Berkowski, M. Drozdowski, Spectroscopic study of mixed oxide \(SAT_{1-x}:LA_x\) perovskite crystals, J. Mol. Struct. 704 (2004), 281-285.
5. T. Runka, R. Aleksiyko, M. Berkowski, M. Drozdowski, Raman scattering study of \((SrAl_{0.5}Ta_{0.5}O_3)_{1-x-y}:(LaAlO_3)_x:(CaAl_{0.5}Ta_{0.5}O_3)_y\) solid solution crystals, Cryst. Res. Technol. 40 (2005), 453-458.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

10-03-2017 | dr Jarosław Mederski: Nieradialne rozwiązania równania Schrödingera z nieliniowością ogólnego typu

Badamy nielinowe równania Schrödingera z nieliniowością spełniającą ogólne warunki Berestyckiego i Lionsa. Klasyczny wynik stwierdza, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań radialnych. Pokażemy, że istnieją również rozwiązania nieradialne nawet gdy problem nie spełnia warunków zwartości, np. gdy warunek Palais-Smale’a nie jest spełniony.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

13-01-2017 | prof. dr hab. Krzysztof Chełmiński: Rozwiązania zrenormalizowane w mechanice ośrodków niesprężystych

In this talk I will present recent results obtained in the theory of thermo-viscoelastic solids. Use is made throughout of the complete nonlinear heat conduction. For this problem, not much is known at present. In order to obtain mathematical results I introduce the audience to the concept of renormalized solutions.Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

09-12-2016 | dr Giselle Monteiro: Kurzweil-Stieltjes integral and some particular classes of functions

It is known that Kurzweil-Stieltjes integral generalizes the integrals of Riemann and Riemann-Stieltjes. With this in mind, when analyzing such a general integration theory, we can ask if it mimics some of the properties of the Riemann-Stieltjes integral with respect to functions. In this talk we provide a partial answer to this question.Acknowledgement: Research financed by the SASPRO Programme, co-financed by the European Union and the Slovak Academy of Sciences.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37. Językiem wykładowym będzie język angielski.

28-10-2016 | prof. AGH dr hab. Piotr Oprocha: Continua dziedzicznie nierozkładalne i entropia

Jednowymiarowe continua dziedzicznie nierozkładalne są obiektami o skomplikowanej strukturze, a ich odkrycie jest nierozerwalnie związane z polską szkołą matematyczną. Od ponad 20 lat wiadomo także, że continua taki mogą pojawiać się jako atraktory układów dynamicznych na powierzchniach 2-wymiarowych. Mimo, że udało się uzyskać pewien wgląd w dynamikę takich układów, wiele pytań pozostaje nadal otwartych.Celem wykładu będzie wprowadzenie w powyższą tematykę, oraz przedstawienie wybranych wyników z ostatnich lat.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

06-05-2016 | prof. PG dr hab. Grzegorz Graff: Hipoteza Shuba – jak gładkość generuje punkty periodyczne

Hipoteza Shuba sformułowana została w latach 70-tych XX wieku. Dotyczy ona pytania jak szybko wzrastać może ilość punktów periodycznych dla gładkiego odwzorowania zwartej rozmaitości w siebie. W szczególności, gdy rozpatrywaną rozmaitością jest sfera \(S^2\), punkty periodyczne są izolowane, a odwzorowanie ma stopień \(d\), gdzie \(|d|>1\), to hipoteza stwierdza, że wzrost liczby punktów periodycznych musi być przynajmniej wykładniczy.

Jak dotąd hipoteza Shuba skutecznie opiera się próbom udowodnienia. Tym niemniej, udało się pokazać, że jest ona prawdziwa w pewnych szczególnych przypadkach. Celem referatu jest sformułowanie hipotezy, naszkicowanie znanych rezultatów cząstkowych i dyskusja możliwych perspektyw jest rozstrzygnięcia.

Wykład będzie przedstawiony w formie dostępnej dla możliwie szerokiego grona słuchaczy, z uwypukleniem geometrycznych intuicji.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

08-04-2016 | prof. dr hab. Jerzy Motyl: Porządkowo wypukłe selekcje multifunkcji i ich zastosowania w teorii sterowania

Niech \(X\) będzie przestrzenią Banacha, a \((Y,\preceq)\) kratą Banacha. Wprowadzona zostanie nowa klasa multifunkcji tzw. górnie oddzielanych (ang. upper separated) \(F\colon X \to 2^Y\) i zbadany problem istnienia porządkowo wypukłych selekcji takich odwzorowań. Omówione zostaną zastosowania uzyskanych wyników do teorii inkluzji różniczkowych i różniczkowo-stochastycznych. Przedstawione zostaną nowe wyniki dotyczące istnienia rozwiązań, stabilności i górnych-dolnych ograniczeń dla zbioru rozwiązań. W drugiej części referatu uzyskane twierdzenia selekcyjne zostaną zastosowane do badania problemów optymalnego sterowania zarówno w przypadku deterministycznym, jak i stochastycznym.

Literatura:

1. J. Motyl, Caratheodory convex selections of set-valued functions in Banach lattices, Topol. Methods Nonlinear Anal. 43 (2014), 1-10.
2. J. Motyl, Stochastic retarded inclusion with Caratheodory-upper separated multifunctions, Set-Valued Var. Anal. (2016), w druku, DOI: 10.1007/s11228-015-0324-9.
3. J. Motyl, Caratheodory-convex selections of multifunctions and their applications, J. Nonlinear Convex Anal., przyjęta do druku.
4. J. M. Bismut, Conjugate convex functions in optimal stochastic control, J. Math. Anal. Appl. 44 (1973), 384-404.
5. R. T. Rockafellar, Conjugate convex functions in optimal control and the calculus of variations, J. Math. Anal. Appl. 32 (1970), 174-222.
6. R. T. Rockafellar, Duality in optimal controls, Math. Control Theory, Lecture Notes in Math. 680 (1978), 219-257

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

04-03-2016 | prof. UZ dr hab. Mariusz Michta: Wielowartościowa całka Ito – własności i zastosowania

Pojęcie wielowartościowej całki stochastycznej Ito stanowi podstawowe narzędzie w formułowaniu zagadnień związanych z układami dynamicznymi w języku teorii wielowartościowych równań i inkluzji stochastycznych. W prezentacji przedstawimy znane w literaturze koncepcje takiej całki. Jedną z kluczowych własności w zastosowaniach jest całkowa ograniczoność pojęcia wielowartościowej całki stochastycznej. Taka własność jest równoważna z ograniczonością zbioru całkowalnych z kwadratem selektorów takiej całki. Do tej pory uzasadnienia potwierdzające taką własność jak i jej zaprzeczające obarczone były błędami. Zatem problem całkowej ograniczoność wielowartościowej całki stochastycznej pozostawał otwarty. Pokażemy, że w ogólności dla szerokiej klasy multifunkcji podcałkowych (zarówno o wartościach wypukłych jak i niewypukłych), zbiory całkowalnych z kwadratem selektorów ich wielowartościowych całek Ito są nieograniczone w \(L_2\). Na koniec przedstawimy ideę takiego określenia wielowartościowej całki stochastycznej Ito, która jest wielowartościową zmienną losową i posiada pożądane własności w zastosowaniach.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

27-11-2015 | prof. UW dr hab. Marek Bodnar: Nieujemność rozwiązań, stabilność rozwiązań stacjonarnych i bifurkacja Hopfa w modelach reakcji biochemicznych z opóźnieniem

Modele matematyczne reakcji biochemicznych są bardzo różnorodne: od prostych układów składających się z kilku równań różniczkowych zwyczajnych poprzez rozbudowane układy kilkudziesięciu lub kilkuset równań, do modeli zawierających równania z opóźnionym argumentem, równania różniczkowe cząstkowe i równania stochastyczne. Za ich pomocą są modelowane zarówno stosunkowo proste zjawiska, na przykład produkcji i degradacji białka, jak i niezwykle skomplikowane ścieżki sygnałowe. O ile modele składające się z kilku równań zwykle poddają się analizie matematycznej, to bardziej skomplikowane modele można analizować praktycznie wyłącznie przy użyciu numeryki. W trakcie referatu opowiem o wpływie opóźnienia na dynamikę modeli reakcji biochemicznych i problemach, które mogą się pojawić gdy do modelowania procesów biochemicznych wykorzystujemy równania z opóźnionym argumentem. Na przykładzie bardzo prostego modelu ekspresji genu, pokażę w jaki sposób naiwne wprowadzenie do układu opóźnienia może prowadzić do fałszywych wyników. Następnie na przykładzie modelu ekspresji genów białka Hes1, który zaproponował Monk w 2003, pokażę metodę dowodzenia globalnej stabilności stanu stacjonarnego równania z opóźnieniem poprzez porównanie dynamiki takiego układu z odpowiednim układem bez opóźnienia.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

05-06-2015 | prof. Xiao-Xiong Gan: JIT-transportation model and certain emergency management

The JIT-transportation model requires that all demanded goods should be transported to their destinations on schedule, at zero or minimal destination-storage and minimal transportation cost. Certain emergency management problems are relevant to the JIT-transportation problem and therefore could be treated by applying a special JIT-transportation model to them. We provide a Emergency transportation model with its algorithm which treats the transportation problem during the rescue mission after a catastrophe occurred. This Emergency transportation model represents a plan which ships a number of commodities from numerous emergency control centers or distribution centers to numerous locations and requires that all rescuing commodities including goods, equipment and personnel to be shipped to their destinations in time or having minimum deviation of the scheduled times with the minimum cost of the transportation.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37. Językiem wykładowym będzie język angielski.

22-05-2015 | dr hab. inż. Izabela Lubowiecka: Biomechaniczne aspekty leczenia przepuklin brzusznych: modelowanie, symulacja, eksperyment

W Polsce wykonuje się 30 tys. operacji przepuklin brzusznych rocznie. Łącznie z operacjami przepuklin pachwinowych liczba ta sięga 70 tys. Są to najczęściej wykonywane zabiegi planowe. Operacja polega na zaszyciu otworu przepuklinowego, jeśli jest dostatecznie mały, lub na nałożeniu na otwór implantu w postaci membrany i zamocowaniu go w powięzi ściany brzucha. Dobór metody zooperowania, a także dobór implantu i sposobu jego zamocowania nie jest zadaniem trywialnym, o czym świadczy np. liczba nawrotów choroby, sięgająca, wg niektórych źródeł, 20%.Przepuklina brzuszna, zaoperowana z użyciem implantu jest układem mechanicznym, w którego skład wchodzą powięź ściany brzucha, łączniki i implant. O biomechanice tego układu decydują parametry jego elementów składowych jak właściwości tkanki ludzkiej, wszczepianego implantu i sposób jego mocowania a także zachowanie zaoperoanej ściany brzucha w sensie mechanicznym uwzględniającym ekstremalne odkształcenia wywołane fizjologicznymi ruchami człowieka.

Problem nawrotów i jakości życia pacjenta po operacji jest zagadnieniem, które wymaga interdyscyplinarnego podejścia łączącego mechanikę i medycynę z wykorzystaniem dostępnych narzędzi matematycznych. Ma to na celu rozpoznanie biomechaniki zdrowego i zaoperowanego brzucha człowieka w celu określenia przyczyn niszczenia połączeń oraz wskazania sposobu jego eliminacji. Badania te obejmują modelowanie matematyczne implantu wraz z prawami konstytutywnymi materiału oraz symulacje zachowania układu złożonego z tkanki i implantu. Weryfikacja modelowania i symulacji wykonywana jest na podstawie przygotowanych do tego celu eksperymentów. Istotną trudność stanowi nieliniowy charakter badanego zagadnienia.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

10-04-2015 | prof. PG dr hab. Grzegorz Graff: Niezmienniki topologiczne w akcji: indeksy punktu stałego iteracji w magnetohydrodynamice

Indeks punktu stałego to ważny topologiczny niezmiennik służący do wykrywania punktów stałych odwzorowania. W przypadku punktów okresowych bardziej efektywnym narzędziem jest cały ciąg indeksów iteracji.Linie pola magnetycznego często analizowane są w tzw. tubie (ang. flux tube), prostej strukturze geometrycznej służącej do modelowania astrofizycznego pola magnetycznego, takiego jak to, które występuje w atmosferze słońca. Od kilkudziesięciu lat trwają próby opisu ewolucji pola w takich tubach, przy czym pierwotne koncepcje, zgodnie z którymi pole zredukować się powinno po pewnym czasie do bardzo prostej postaci nie znalazły potwierdzenia w eksperymentach i symulacjach. W referacie przedstawione zostaną topologiczne restrykcje na ewolucję pola, wyrażone przez indeksy punktu stałego. Możliwość wykorzystania topologicznych niezmienników w tym aspekcie badana jest intensywnie w ostatnich latach przez G. Horniga i jego współpracowników.

Wykład będzie przedstawiony w formie dostępnej dla możliwie szerokiego grona słuchaczy, z uwypukleniem geometrycznych intuicji.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

09-01-2015 | prof. UJK dr hab. Grzegorz Łysik: Sumowalność formalnych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych

Jednym z problemów analitycznej teorii równań różniczkowych cząstkowych jest uzyskanie charakteryzacji danych na rozmaitości \(S\), dla których rozwiązanie problemu brzegowego jest funkcją analityczną zmiennej normalnej do \(S\). Na ogół można dość łatwo skonstruować rozwiązania w postaci szeregu formalnego zmiennej normalnej do \(S\). Jeśli \(S\) nie jest zbiorem charakterystycznym równania, to na podstawie twierdzenia Cauchy-Kowalewskiej jest ono zbieżne. W przeciwnym przypadku rozwiązanie formalne nie musi być zbieżne. Wówczas nasuwają się naturalne pytania:

• jakie jest znaczenie rozwiązania formalnego,
• czy jest ono rozwinięciem asymptotycznym faktycznego rozwiązania,
• czy i jak faktyczne rozwiązanie może byc otrzymane z rozwiązania formalnego.

W przypadku równań zwyczajnych odpowiedzi na te pytania zostały wypracowane w latach 80-tych i 90-tych XX wieku przez teorię multisumawalności. W przypadku równań cząstkowych badanie tych problemów rozpoczęło się pod koniec XX wieku i, poza równaniami liniowymi dwóch zmiennych o stałych współczynnikach, praktycznie nie ma ogólnych wyników. Podczas wykładu podam przegląd wyników dotyczących powyższych problemów, ze szczególnym uwzględnieniem wyników dla równań typu równania ciepła.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

12-12-2014 | dr hab. Piotr Maćkowiak i dr Piotr Kasprzak: Zastosowanie funkcji o ograniczonej wariacji w przetwarzaniu obrazów

Metody przetwarzania obrazów (w szczególności odzyskiwanie „rzeczywistego” obrazu z obrazu rozmytego/zniekształconego, czy usuwanie tzw. “szumów”) wykorzystywane są powszechnie w celu analizy np. zdjęć satelitarnych, zdjęć rentgenowskich, obrazów uzyskanych w tomografii komputerowej, zdjęć archiwalnych itp. Okazuje się, że wiele z tych metod korzysta z zaawansowanego aparatu matematycznego. Omówimy pokrótce podstawowe idee matematyczne stosowane w przetwarzaniu obrazów. Zwrócimy szczególną uwagę na zastosowania funkcji o ograniczonej wariacji. Ponadto podamy konkretne przykłady zastosowań tych algorytmów odzyskiwania obrazów.

Seminarium odbywa się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

07-11-2014 | dr Łukasz Woźny: O punktach stałych operatorów monotonicznych i czasowo spójnych decyzjach konsumentów quasi-hiperbolicznych

Omówimy rozszerzenie twierdzeń Tarskiego i Markowskiego o punktach stałych dla operatorów monotonicznych. Rozszerzenie dotyczy głównie założeń odnośnie porządkowej domkniętości zbioru częściowo uporządkowanego, który jest odwzorowywany przez operator, a także istnienia rosnącej selekcji dla odwzorowania zbioru parametrów w zbiór punktów stałych rodziny parametryzowanych operatorów. Zaprezentujemy również zastosowanie otrzymanych wyników do obliczeń czasowo spójnych reguł decyzyjnych dla konsumentów quasi-hiperbolicznych w warunkach ryzyka.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

03-10-2014 | prof. Gennaro Infante: New criteria for the existence of multiple solutions in cones

We present new sufficient conditions for the existence of multiple fixed points for a map between ordered Banach spaces. An interesting feature of this approach is that we do not require conditions on two boundaries, but rather on one boundary and a point with some extra information on the monotonicity of the nonlinearity on a certain set. We apply our results to prove the existence of at least two positive solutions for a nonlinear boundary value problem that models a the displacement of a beam subject to some feedback controllers.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37. Językiem wykładowym będzie język angielski.

21-03-2014 | Prof. UMK dr hab. Grzegorz Gabor: Rozwiązania wiabilne i okresowe w problemach z barierą

Przedmiotem odczytu będzie problem istnienia rozwiązań równań lub inkluzji różniczkowych pozostających w pewnym zadanym zbiorze ograniczeń K w sytuacji, gdy zbiór ten nie jest niezmienniczy. W przypadku tym istnieje tzw. zbiór wyjścia, przez który trajektorie opuszczają zbiór K. Dobre własności topologiczne zbioru wyjścia w odniesieniu do własności zbioru K implikują istnienie trajektorii wiabilnych (pozostających w K), a nawet stacjonarnych (por. Metoda retraktowa Ważewskiego, indeks Conleya). Po przedstawieniu tych wstępnych i ważnych wyników interesować nas będzie sytuacja, gdy wszystkie trajektorie potoku uciekają z K, lecz w zbiorze wyjścia ustawiona jest bariera M odbijająca przynajmniej część trajektorii. Otrzymujemy w ten sposób tzw. problem impulsowy z funkcją impulsową I działającą z M do przestrzeni stanów. Podamy topologiczne warunki wystarczające na to, by istniały trajektorie wiabilne i okresowe w zbiorze K. Zaprezentowana zostanie możliwość wykorzystania takich narzędzi topologicznych jak indeks punktu stałego na ANRach i indeks Conleya dla wielowartościowych układów dyskretnych.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

07-03-2014 | dr Tomasz Cieślak: Spirale rotacji jako przepływy generujące wirowość w dwuwymiarowym równaniu Eulera

Po krótkim wprowadzeniu do równania Eulera przedyskutuję potrzebę rozwiązania singularnych rozwiązań dwuwymiarowego równania Eulera w postaci samopodobnych spiral generujących rotacje oraz roli pełnionej przez normę w przestrzeni \(H^{-1}(\mathbb R^2)\) takich obiektów. Następnie pokażę, że wszelkie obiekty spełniające tak zwane prawa podobieństwa Prandtla są lokalnie elementami \(H^{-1}(\mathbb R^2)\), podam przykłady takich obiektów. Na koniec, przedstawie krótki dowód twierdzenia o ciągłym włożeniu miar morreyowskich, o nośniku zawartym w pewnym zbiorze ograniczonym, w \(H^{-1}(\mathbb R^2)\), gdzie \(n \geq 2\). Będzie on przeprowadzony przy użyciu metod wprowadzonych do badania spiral rotacji.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

31-01-2014 | prof. dr hab. Wojciech Okrasiński: Historia pewnej nierówności, czyli od zastosowań matematyki do teorii

Pewne nieliniowe modele matematyczne sprowadzają się do badania rozwiązań nieliniowego równania całkowego typu Volterry. Podczas studiów nad istnieniem rozwiązań tego równania pojawiła się całkowa nierówność, która jest badana i uogólniana do dnia dzisiejszego.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

08-11-2013 | dr Justyna Signerska: Modele aktywności komórek nerwowych z prawie okresowym wymuszeniem

Zajmiemy się matematyczną analizą układów typu integrate-and-fire, spotykanych w modelowaniu aktywności komórek nerwowych, obwodów elektronicznych czy rytmu serca. W tych zazwyczaj jednowymiarowych układach ciągła dynamika zadana przez równanie różniczkowe jest zaburzona poprzez wprowadzenie tzw. “warunku resetowania”, co ma w uproszczony sposób oddawać zjawisko potencjału czynnościowego w komórce nerwowej.Podstawowym problemem jest przedstawienie ciągu czasów kolejnych resetowań jako iteracji pewnego odwzorowania, zwanego firing map, a ciągu odstępów czasowych między kolejnymi resetowaniami (ang. interspike-intervals) jako ciągu przemieszczeń wzdłuż trajektorii tego odwzorowania oraz zbadanie analitycznych i dynamicznych własności firing map. Gdy funkcja występująca po prawej stronie równania różniczkowego jest okresowa względem czasu (oraz dostatecznie gładka), analizę tę można sprowadzić do badania homeomorfizmów/dyfeomorfizmów okręgu zachowujących orientację. Naturalnym rozszerzeniem przypadku okresowego, i jednocześnie znacznie większym wyzwaniem matematycznym, jest zbadanie, co się dzieje, gdy wymuszenie układu jest prawie okresowe.

Przedstawione zostaną wyniki uzyskane dla modeli liniowych z funkcją wejścia prawie okresową w sensie Bohra lub Stiepanowa. Następnie zobaczymy, które z nich uda się przenieść na jeszcze ogólniejszy przypadek funkcji prawie okresowych w sensie miary Lebesgue’a.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.

25-10-2013 | dr inż. Łukasz Płociniczak: Dyfuzja anomalna w materiałach budowlanych. Model i analityczne rozwiązania

Dyfuzja jest jednym z najpowszechniej spotykanych oraz ważnych zjawisk fizycznych. Jest to „losowe” rozprzestrzenianie się danej substancji w pewnym medium w przestrzeni. Skale w jakich zjawisko to zachodzi są praktycznie dowolne: od drobnych cząsteczek substancji zapachowych, bakterii, poprzez zanieczyszczenia w płynach aż do ruchów galaktyk w skalach kosmologicznych. Równanie dyfuzji jest bardzo klasycznym podejściem do zjawiska. Jednakże, w ostatnich latach wielu badaczy doniosło o pewnych dyfuzjach, które zachodzą w zupełnie innym niż klasycznym tempie. Próba opisu matematycznego dyfuzji anomalnej w tym przypadku została podjęta poprzez użycie pochodnej ułamkowej. Wynik, który otrzymaliśmy przedstawia bardzo proste analitycznie, a jednocześnie dokładne numerycznie, przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania dyfuzji ułamkowej. Metoda rozwiązywania takiego problemu jest na tyle uniwersalna, że może być stosowana do innych równań ułamkowych o rozwiązaniach samopodobnych. Polega ona na rozwinięciu w szereg pewnego operatora całkowego (Erdelyi–Kober), który przedstawia działanie pochodnej ułamkowej już po transformacji samopodobnej. Dokładność naszego przybliżonego rozwiązania nie dość, że dobrze odwzorowuje dane eksperymentalne, to stanowi również dobre przybliżenie rozwiązania nieliniowego równania dyfuzji ułamkowej. Nasze wyniki są niemalże identyczne z tymi otrzymanymi na drodze numerycznej przez innych autorów. Jednak analityczna, prosta forma rozwiązania proponowanego przez nas stanowi duży atut, który jest nieoceniony w dopasowywaniu danych eksperymentalnych do modelu.

Seminarium odbędzie się o godzinie 11:00 w sali B1-37.